ภาพการเปลี่ยนมุมมองของกาลอวกาศตามเส้น world line เมื่อผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน

ในภาพเคลื่อนไหว แกนในแนวดิ่งหมายถึง เวลา ส่วนแกนแนวนอนหมายถึง ระยะทาง เส้นประคือวิถีของกาลอวกาศ ("world line") ของผู้สังเกต ภาพส่วนล่างของไดอะแกรมแสดงเหตุการณ์ที่ผู้สังเกตมองเห็น ภาพส่วนบนแสดง light cone หรือสิ่งที่ผู้สังเกตจะมองเห็น จุดเล็ก ๆ ในรูปคือเหตุการณ์แบบสุ่มที่อาจเกิดขึ้นได้ในกาลอวกาศ

เส้นลาดของ world line (ที่เบี่ยงเบนไปจากแนวดิ่ง) แสดงถึงความเร็วสัมพัทธ์กับผู้สังเกต พึงพิจารณามุมมองของกาลอวกาศที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อผู้สังเกตเร่งความเร็วขึ้น

ทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นอยู่กับ "กรอบอ้างอิง" กรอบอ้างอิงคือจุดในปริภูมิที่อยู่นิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จากตำแหน่งซึ่งสามารถวัดได้ตามแกน 3 แกน นอกจากนี้ กรอบอ้างอิงยังมีนาฬิกาซึ่งกำลังเคลื่อนที่ไปกับกรอบอ้างอิงซึ่งใช้ในการวัดเวลาของเหตุการณ์

เหตุการณ์ คือสิ่งที่เกิดขึ้นโดยสามารถระบุเป็นเวลาและตำแหน่งเดี่ยว ๆ ในปริภูมิสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิง: นั่นคือ "จุด" ในปริภูมิ-เวลา เนื่องจากอัตราเร็วแสงมีค่าคงที่ในแต่ละกรอบอ้างอิงและทุก ๆ กรอบ พัลส์ของแสงจึงสามารถใช้วัดระยะทางได้อย่างแม่นยำและกลับมาเมื่อครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นไปยังนาฬิกา ถึงแม้ว่าแสงจะใช้เวลากลับมาหานาฬิกาหลังจากที่เหตุการณ์ได้เกิดขึ้นแล้วก็ตาม

ยกตัวอย่างเช่น การระเบิดของประทัดสามารถเป็น "เหตุการณ์" ได้ เราสามารถระบุเหตุการณ์ได้อย่างสมบูรณ์ด้วยใช้พิกัด ปริภูมิ-เวลา 4 มิติ: เวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้น และตำแหน่ง 3 มิติจากตำแหน่งอ้างอิง เรียกกรอบอ้างอิงนี้ว่า S

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เรามักต้องการคำนวณตำแหน่งของจุดจากตำแหน่งอ้างอิงอีกอันหนึ่ง

สมมุติเรามีกรอบอ้างอิงที่สอง คือ S' ซึ่งมีแกนพิกัดและนาฬิกาวางตัวทับกันกับระบบของ S ที่เวลาเป็นศูนย์ แต่กรอบอ้างอิงที่สองกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v {\displaystyle v\,} เทียบกับกรอบอ้างอิง S ไปตามแกน x {\displaystyle x\,}

เนื่องจากไม่มีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ แนวคิดเรื่อง 'การเคลื่อนที่' จึงไม่ได้มีอยู่อย่างชัดเจน จากที่ทุกสิ่งย่อมเคลื่อนที่เทียบกับกรอบอ้างอิงอื่นเสมอ แทนที่โดย กรอบสองกรอบใด ๆ ที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน ในทิศทางเดียวกันจะเรียกว่า การเคลื่อนที่ร่วม ดังนั้น S และ S' จึงไม่ได้เป็นการเคลื่อนที่ร่วมกัน

กำหนดให้ เหตุการณ์ เกิดขึ้นในพิกัดปริภูมิ-เวลา ( t , x , y , z ) {\displaystyle (t,x,y,z)\,} ในระบบ S และในพิกัด ( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle (t',x',y',z')\,} ในระบบ S' จากนั้นการแปลงแบบลอเรนซ์ระบุว่าพิกัดทั้งสองสัมพันธ์กันดังนี้:

t ′ = γ ( t − v x c 2 ) {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)} x ′ = γ ( x − v t ) {\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\,} y ′ = y {\displaystyle y'=y\,} z ′ = z {\displaystyle z'=z\,}

เมื่อ γ ≡ 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} เรียกว่า Lorentz factor และ c {\displaystyle c} คือ อัตราเร็วแสง ในสุญญากาศ

พิกัด y {\displaystyle y\,} และ z {\displaystyle z\,} ไม่ได้รับผล แต่แกน x {\displaystyle x\,} และ t {\displaystyle t\,} นั้นผสานกันในสูตรการแปลง โดยการแปลงนี้สามารถเข้าใจได้ด้วย การหมุนแบบไฮเพอร์โบลิก

ปริมาณซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์รู้จักกันในนาม Lorentz scalar